多次元のランダムウォーク

最近読んだ、「ランダムウォークと繰り込み群」って本。まぁ、結構難しいんだけど、5次元以上に付いては、うまく解ける手法があるらしい。逆に、3次元、4次元は難しいらしい。

(ちなみに自分で買った本ではないです。返さないとだめだな)

で「ここでは数学的ではないことを書きます」と書いてある章がある。そこで、何故、3次元、4次元が難しいかの考察が書いてあった。

一つは、ランダムウォークが本質的に二次元的であること。これは割と納得できる。自分の進行方向を一回変えると、方向は二つ。つまり平面になる。でも、続けて起きる一連の方向転換が二次元的になるってのは自明ではないけど。たぶん、なんらかの形で偏向があるランダムウォークだと多次元的になるんだろうな。

もう一つは、二つの平面をランダムに選ぶと、5次元以上だと交わらないが、4次元以下だと必然的に交わってしまう。まぁ、確率の問題なんだけど。

この二つの要因で3次元、4次元のランダムウォークの解析が難しいらしい。

同じ問題は、量子力学の定式化の一つである経路積分についてもある。経路積分はすべての可能な経路について積分するのだが、3次元、4次元での可能な経路ってのを定式化するのが難しい。直観的に、上の二つが絡んでいるのだと思う。

この問題が解けるのは、いったいいつになるのかな。